보수(Complement)와 보수 뺄셈에 대한 정말 쉬운 설명

노션에서 읽기

 

0과1로 이루어진 컴퓨터 세계에 마이너스(-) 부호가 있을 리 없다.

그렇다면 컴퓨터는 뺄셈을 어떻게 실행할까? 또, 음수는 어떻게 표현할까?

 

바로 👉🏻보수를 이용한다.

 

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보수 구하기

먼저 보수가 무엇인지 알아보자.

 

보수의 세계엔 두가지 보수가 있다.

1. n의 보수와,
2. n-1의 보수가 그것이다.

 

2진수라면 2의 보수, 1의 보수가 존재하며

10진수라면 10의 보수, 9의 보수가 존재한다는 이야기다.

1. n-1의 보수

먼저, n-1의 보수는 해당 수를 뒤집은 수다.

🤷‍♀️ 뒤집는 게 뭘까?

주사위를 생각하면 쉬울 것이다.

1눈의 반대편엔 항상 6, 2의 반대편엔 5, 3의 반대편엔 4가 있다.

주사위의 숫자들이 8진법의 세계 안에 있다고 한다면 반대편의 눈이 각각 7의 보수가 되는 셈이다.

(적고 보니 주사위엔 눈이 6까지 밖에 없어서 약간 헷갈릴 수도 있겠다,,)

💁‍♀️ 2진수의 경우

2진법엔 0과 1뿐이므로 뒤집는다(toggle)는 개념이 쉽게 적용된다.

0을 뒤집으면 1, 1을 뒤집으면 0이다.

따라서 1101의 1의 보수는 0010이 되며, 11111의 것은 00000이다.

💁‍♀️ 10진수의 경우

1을 뒤집으면 8, 2를 뒤집으면 7, 3은 6, 4는 5...9는 0이다.

따라서 99의 9의 보수는 0이 되며, 45는 54, 38은 61이 된다.

 

다르게 말하면, n-1의 보수란 더했을 때 자릿수가 올라가게 하는 수에서 1을 뺀 값이다.

99에 1을 더하면 100이 되어 자릿수가 올라가며 1에서 1을 뺀 0이 n-1의 보수가 되는 것이다.

왜 이런 설명을 덧붙였는지는 n의 보수를 읽어 보면 안다.

2. n의 보수

n의 보수가 바로 더했을 때 자릿수가 올라가게 하는 수다.

즉, n-1의 보수에서 1을 더한 값이다.

💁‍♀️ 10진수의 경우

10진법 계산이 우리에게 더 익숙하므로 자릿수가 올라가는 계산을 쉽게할 수 있다.

예컨대 45에 더했을 때 100이 되게하는 수를 찾으면 곧 10의 보수가 되며

55가 45의 10의 보수임을 알 수 있다.

💁‍♀️ 2진수의 경우

1101의 2의 보수를 구하려면 다음과 같은 과정을 따른다.

1. 수를 뒤집는다: 1101 -> 0010
2. 뒤집은 수에 1을 더한다: 0010 + 1 = 0011

 

그리고 1101에 0011을 더하면,

  1101
+ 0011
------
 10000

이와 같이 5자리수가 되는 것을 확인할 수 있다.

 

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보수로 뺄셈하기

그렇다면 보수를 이용한 뺄셈은 어떻게 하는 것일까?

1. 결괏값이 양수가 나올 때

나오는 결과값이 양수라면 아주 간단하다.

빼려는 수 혹은 더하려는 음수의 부호를 뺀 값을 n의 보수로 바꾼 뒤 더해준다.

그리고 원래 수의 최대 자릿수를 넘어간 가장 큰 자릿수를 버리면 계산이 완성된다.

💁‍♀️ 10진수의 경우

먼저 10진수로 살펴보겠다.

 

54 - 34를 보수 뺄셈으로 계산한다고 하면 과정은 다음과 같다.

1. 34를 10의 보수로 변환: 100 - 34 = 66
2. 변환한 수를 더한다: 54 + 66 = 120
3. 초과한 자릿수를 버린다: 120 -> 20

 

54 - 34의 계산 값과 같다!

💁‍♀️ 2진수의 경우

그다음은 1101 - 0111을 보수 뺄셈으로 계산하는 과정이다.

(0111에 0을 쓴 이유는 뒤집기 편하게 자릿수를 가시화한 것이다.)

 

1. 0111을 2의 보수로 변환:

   • 0111 -> 1000 (먼저1의 보수로 변환)
   • 1000 + 1 = 1001 (1을 더하여 2의 보수로 변환)

2. 변환한 수를 더한다

     1101
   + 1001
   ------
    10110

3. 초과한 자릿수를 버린다: 10110 -> 0110

 

1101 (13) - 0111 (7) = 0110 (6) 이므로 계산 값이 같다!

2. 결괏값이 음수가 나올 때

나오는 결괏값이 음수라면 결괏값을 통해 부호 판단을 해주어야 한다.

컴퓨터는 마이너스를 말할 수 없기 때문에 판단은 우리의 몫이다.

💁‍♀️ 10진수의 경우

이번에도 먼저 10진수로 살펴보겠다.

 

34 - 54를 보수 뺄셈으로 계산한다고 하면 과정은 다음과 같다.

 

1. 54를 10의 보수로 변환: 100 - 54 = 46
2. 변환한 수를 더한다: 34 + 46 = 80

 

이때, 나온 수가 100을 넘지 않는다는 사실을 알 수 있다.

10진수 보수 뺄셈에서 자릿수가 넘어간다(carry 발생)는 사실은 곧 결괏값이 양수임을 의미한다.

 

따라서, 앞서 구한 120의 경우 무시한 3자릿수의 1이 곧 + 부호 역할을 하는 셈이며,

54 - 34를 보수 뺄셈으로 계산한다고 하면 과정은 다음과 같다.

1. 34를 10의 보수로 변환: 100 - 34 = 66
2. 변환한 수를 더한다: 54 + 66 = 120
3. 초과한 자릿수를 버린다: 120 -> 20

 

여기서의 80은 자릿수 넘김 없이 80이므로, 앞에 붙은 보이지 않는 0이 곧 - 부호다.

 

하지만, 우리가 원하는 결괏값은 -20인데 80은 뭘까?

보수 뺄셈에서 음수 부호가 붙은 값은 n의 보수 처리를 거쳐야 우리가 보기에 타당한 결괏값이 된다.

 

3. 결괏값을 10의 보수로 바꾼다: 100 - 80 = 20

 

따라서, 보이지 않는 0을 - 부호로 생각하고 보수화한 결괏값을 붙이면

34 - 54 = -20의 결괏값과 같다!

💁‍♀️ 2진수의 경우

2진수의 경우도 계산을 진행하며 설명하겠다.

 

0111 - 1101을 보수 뺄셈으로 계산한다면 과정은 다음과 같다.

1. -1101을 2의 보수로 변환:

   • 1101 -> 0010 (먼저 1의 보수로 변환)
   • 0010 + 1 = 0011 (1을 더하여 2의 보수로 변환)

2. 변환한 수를 더한다

     0111
   + 0011
   ------
     1010

 

결괏값이 4자리로, 자리올림이 발생하지 않았다는 것을 알 수 있다.

따라서 자릿수를 버리지 않아도 되며, 이때 맨 앞의 자릿수는 결괏값의 부호가 된다.

1일땐 음수이며 0일땐 양수라는 의미이다.

 

결괏값이 양수가 나온 앞선 계산에서 보면

초과한 자릿수를 버린 다음 자릿수가 0임을 알 수 있다. 즉, 양수라는 의미!

1. 0111을 2의 보수로 변환:

   • 0111 -> 1000 (먼저1의 보수로 변환)
   • 1000 + 1 = 1001 (1을 더하여 2의 보수로 변환)

2. 변환한 수를 더한다

     1101
   + 1001
   ------
    10110

3. 초과한 자릿수를 버린다: 10110 -> 0110

 

3. 부호를 제외한 수를 2의 보수로 바꾼다:
   • 010 -> 101 (1의 보수로 바꿈)
   • 101 + 1 -> 110 (1을 더해 2의 보수로 바꿈)

0111 (7) - 1101 (13) = -110 (-6)으로, 결괏값과 일치함을 알 수 있다.

정리하자면,

보수를 더했을 때 자리올림이 발생하지 않는 경우, 결괏값은 무조건 음수다.

따라서 2진수라면 부호인 맨 앞자리를 무시하고 n의 보수로 변환하면 결괏값이 되는 것이다.